Медианы треугольника| Задачи 1-10 | Решение задач | Волчкевич | Уроки геометрии 7-8 класс

Описание

1. Две медианы в треугольнике равны. Докажите, что он равнобедренный.
*2. Можно ли утверждение предыдущей задачи доказать без пятого постулата Евклида?
3. (Свойство медиан треугольника.) Докажите, что все медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ей в отношении 2 : 1, считая от вершины. Для доказательства используйте
приведенный чертеж.
4. Две медианы треугольника перпендикулярны. Найдите отношение третьей его медианы к соответствующей стороне.
5. На продолжении стороны AC треугольника ABC взяли точку K так, что CK = AC. Точка M –– середина AB. В каком отношении
прямая MK делит сторону BC?
6. Точку на катете прямоугольного треугольника соединили с
одной его вершиной и серединой гипотенузы. При этом оказалось,
что отмеченные на рисунке углы равны. В каком отношении данная точка делит катет?
7. В трапеции ABCD точка M –– середина боковой стороны CD.
На отрезке AM взяли точку O так, что AO : OM = 2 : 1. Прямая BO
пересекает основание AD в точке E. Докажите, что отрезок AE
равен средней линии трапеции.
*8. Точка E –– середина стороны CD параллелограмма ABCD,
точка K лежит на стороне AD. На отрезке BE взята точка O так, что
BO =2 · OE. Прямая OK пересекает сторону BC в точке M. Найдите
отношение CM : AK.
9. Докажите, что из медиан произвольного треугольника всегда можно составить новый треугольник так, что его стороны будут параллельны данным медианам.
10. Из медиан данного треугольника составили новый треугольник. В нем провели произвольную медиану. Докажите, что
она составляет 3/4 одной стороны прежнего треугольника.